Λ 油売る 大豆野郎の 間歇泉


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昨日の

とても暇人なことをしてみた。
普段数学を使わないのでアタマの体操としてやってみたのである。

昨日の関数の出し方がピンと来なかったので、実際に計算して出すことにした。


総問題数aのジャンル形式がある。
このジャンル形式に遭遇してx問目で未見を引く確率をy=P(x)とする。

これは、1からaまでの数字が書かれたくじを引き、
引いたくじは元に戻してシャッフルする場合、
x回目でまだ引いてない数字を引く確率と同じである。

ここでは昨日と同様、a=1200とする。

1回目(1問目)で未見を引く確率は、それまで問題を引いたことが無いのだから
P(1)=1200/1200=1
である。

また、2回目(2問目)に未見を引く確率は、引いてない問題が1199問あるので、
P(2)=1199/1200 
ここで2問目に未見を引かない確率は1-P(2) であることを覚えておいてもらいたい。

では3回目に未見を引く確率は?
ここで、「2問目で未見を引いてない場合(残り未見1199問)」
と「2問目で未見を引いた場合(残り未見1998問)」
に分けなければならない。
なぜならば上2つで残っている未見数が違うからである。
(その後は場合分けしてるとさらに複雑になる)

すなわちP(3)=1199/1200*{1-P(2)}+1198/1200*P(2)
(※ 「*」は「×」)

さて、ここで全部数字に直すとワケわかんないが、
数学が得意な人はもう見えているかもしれない。

実は、
P(2)=1199/1200={1200-P(1)}/1200
P(3)={1199-P(2)}/1200={1200-P(1)-P(2)}/1200

そう、漸化式になっている。
この手のものが漸化式になるのは数学得意ならすぐぴんと来るだろうが、
いきなり理論的に式が導きだせなかったので、わざわざ計算して式を出した。
式としては、
P(x)={1200-Σ【t=1からx-1まで】P(t)}/1200
  =1-Σ【t=1~x-1】P(t)/1200(ただしx≧2) 
P(x)-P(x-1) から
P(x)=(1199/1200)P(x-1)  (ただしx≧2)・・・①

①は等比数列というやつなのでこのように変形できる
P(x)=(1199/1200)^(x-1)・P(1)
  =(1199/1200)^(x-1)・・・①’
(※「^」は階乗 x^2ならxの2乗)

これで自然対数でもとってやれば、
ln{P(x)}=(x-1)ln(1199/1200)・・・②
となる。

さて、未見に当たる確立をyにしたい、
すなわち割合(1-y)だけ回収するのに何問(x問)当たればよいか
確率的に出すには、②を分解して
x=1+ln{P(x)}*1/ln(1190/1200)・・・③

ちなみに1/ln(1190/1200)はほぼ-1199.5。
要するにx=1-1199.5ln(y)
で近似できる。

あとはエクセルでも何でも使って出すがいい。
関数電卓でも出せる。
ただし(当たり前だが)y=0は出せないので注意。

ためしに昨日の400問ほど回収、すなわちy=0.66のときのxを出してみると
x≒500

昨日の1クレ20問とすると、大体25クレ。
おお、大体あってるではないか!フハハハ

まあそのあとはしらんがな。

ちなみに言わずもがなだが、①’や③を一般化すると、
P(x)=(a-1/a)^x-1
x=1+ln{P(x)}*1/ln(a-1/a)


となる。

と、いうことで、これらは高校までの数学だが、
数学だってたまには役に立つのである。

だから役に立たないから捨てるとかあまりいわないほうが良いぞ。


え?こんな計算誰もしないから結局役に立たないって?

あ、そうですか・・・


まあ、たまに数学で遊ぶのも面白いということです。

それでは。

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コメント

どちらにしろ私は数学が苦手です。
センター数学で理系にあるまじき点数を取った男ですので(笑

大丈夫。
うちも数ⅠAで文系に負けるような点とったからw

私が易問でもぼろぼろ落とすのは昔からの仕様らしい(ぉ

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